Moving Average Lecture Notes

Introdução a ARIMA: modelos não-sazonais: equação de previsão ARIMA (p, d, q): os modelos ARIMA são, na teoria, a classe mais geral de modelos para prever uma série de tempo que pode ser feita para ser 8220stação2008 por diferenciação (se necessário), talvez Em conjunto com transformações não-lineares, como log ou desinflando (se necessário). Uma variável aleatória que é uma série temporal é estacionária se suas propriedades estatísticas são todas constantes ao longo do tempo. Uma série estacionária não tem tendência, suas variações em torno de sua média têm uma amplitude constante, e ela muda de forma consistente. Isto é, seus padrões de tempo aleatório de curto prazo sempre parecem os mesmos em um sentido estatístico. A última condição significa que suas autocorrelações (correlações com seus próprios desvios anteriores da média) permanecem constantes ao longo do tempo, ou de forma equivalente, que seu espectro de potência permanece constante ao longo do tempo. Uma variável aleatória deste formulário pode ser visualizada (como de costume) como uma combinação de sinal e ruído, e o sinal (se um é aparente) pode ser um padrão de reversão média rápida ou lenta, ou oscilação sinusoidal, ou alternância rápida no signo , E também poderia ter um componente sazonal. Um modelo ARIMA pode ser visto como um 8220filter8221 que tenta separar o sinal do ruído, e o sinal é então extrapolado para o futuro para obter previsões. A equação de previsão de ARIMA para uma série de tempo estacionária é uma equação linear (isto é, regressão) em que os preditores consistem em atrasos da variável dependente e / ou atrasos dos erros de previsão. Isto é: valor previsto de Y uma constante e ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes de Y e ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes dos erros. Se os preditores consistem apenas em valores atrasados ​​de Y. é um modelo autoregressivo puro (8220 self-regressed8221), que é apenas um caso especial de um modelo de regressão e que poderia ser equipado com um software de regressão padrão. Por exemplo, um modelo autoregressivo de primeira ordem (8220AR (1) 8221) para Y é um modelo de regressão simples no qual a variável independente é apenas Y rezagada por um período (LAG (Y, 1) em Statgraphics ou YLAG1 em RegressIt). Se alguns dos preditores são atrasos nos erros, um modelo ARIMA não é um modelo de regressão linear, porque não existe nenhuma maneira de especificar o erro 8222 do último erro82221 como uma variável independente: os erros devem ser computados numa base de período a período Quando o modelo é ajustado para os dados. Do ponto de vista técnico, o problema com o uso de erros atrasados ​​como preditores é que as previsões do modelo8217s não são funções lineares dos coeficientes. Mesmo que sejam funções lineares dos dados passados. Assim, os coeficientes nos modelos ARIMA que incluem erros atrasados ​​devem ser estimados por métodos de otimização não-linear (8220hill-climbing8221) ao invés de apenas resolver um sistema de equações. O acrônimo ARIMA significa Auto-Regressive Integrated Moving Average. Lags da série estacionada na equação de previsão são chamados quota de termos degressivos, os atrasos dos erros de previsão são chamados quotmoving termos de média, e uma série de tempo que precisa ser diferenciada para ser estacionada é uma versão quotintegratedquot de uma série estacionária. Modelos de caminhada aleatória e tendência aleatória, modelos autoregressivos e modelos de suavização exponencial são todos os casos especiais de modelos ARIMA. Um modelo ARIMA não-sazonal é classificado como um quot de quotARIMA (p, d, q), onde: p é o número de termos autorregressivos, d é o número de diferenças não-sazonais necessárias para a estacionaridade e q é o número de erros de previsão atrasados ​​em A equação de predição. A equação de previsão é construída da seguinte forma. Primeiro, digamos a d ª diferença de Y. o que significa: Observe que a segunda diferença de Y (o caso d2) não é a diferença de 2 períodos atrás. Em vez disso, é a primeira diferença de primeira diferença. Que é o análogo discreto de uma segunda derivada, isto é, a aceleração local da série em vez da sua tendência local. Em termos de y. A equação geral de previsão é: Aqui, os parâmetros de média móvel (9528217s) são definidos de modo que seus sinais são negativos na equação, seguindo a convenção introduzida por Box e Jenkins. Alguns autores e software (incluindo a linguagem de programação R) os definem para que eles tenham sinais de mais. Quando os números reais estão conectados à equação, não há ambigüidade, mas é importante saber qual a convenção que seu software usa quando você está lendo a saída. Muitas vezes, os parâmetros são indicados por AR (1), AR (2), 8230 e MA (1), MA (2), 8230 etc. Para identificar o modelo ARIMA apropriado para Y. você começa por determinar a ordem de diferenciação (D) necessidade de estacionar a série e remover as características brutas da sazonalidade, talvez em conjunto com uma transformação estabilizadora de variância, como o registro ou a desinflação. Se você parar neste ponto e prever que a série diferenciada é constante, você ajustou apenas uma caminhada aleatória ou modelo de tendência aleatória. No entanto, a série estacionada ainda pode ter erros auto-correlacionados, sugerindo que alguns números de AR (p 8805 1) e ou alguns termos de MA de número (q 8805 1) também são necessários na equação de previsão. O processo de determinação dos valores de p, d e q que são melhores para uma determinada série de tempo será discutido em seções posteriores das notas (cujos links estão no topo desta página), mas uma visualização de alguns tipos Os modelos ARIMA não-sazonais que são comumente encontrados são dados abaixo. Modelo autoregressivo de primeira ordem ARIMA (1,0,0): se a série estiver estacionada e autocorrelada, talvez ela possa ser predita como um múltiplo de seu próprio valor anterior, além de uma constante. A equação de previsão neste caso é 8230, que é regredida por si mesmo atrasada por um período. Este é um modelo 8220ARIMA (1,0,0) constante8221. Se a média de Y for zero, então o termo constante não seria incluído. Se o coeficiente de inclinação 981 1 for positivo e menor que 1 em magnitude (deve ser inferior a 1 em magnitude se Y estiver estacionário), o modelo descreve o comportamento de reversão média em que o valor do período 8217 seguinte deve ser previsto 981 1 vezes como Muito longe da média, já que esse valor do período é de $ 127. Se 981 1 for negativo, ele prevê um comportamento de reversão média com alternância de sinais, ou seja, ele também prevê que Y estará abaixo do período médio seguinte se estiver acima da média desse período. Em um modelo autoregressivo de segunda ordem (ARIMA (2,0,0)), haveria um termo Y t-2 também à direita e assim por diante. Dependendo dos sinais e das magnitudes dos coeficientes, um modelo ARIMA (2,0,0) pode descrever um sistema cuja reversão média ocorre de forma sinusoidalmente oscilante, como o movimento de uma massa em uma mola sujeita a choques aleatórios . ARIMA (0,1,0) caminhada aleatória: se a série Y não estiver estacionária, o modelo mais simples possível para ele é um modelo de caminhada aleatória, que pode ser considerado como um caso limitante de um modelo AR (1) no qual o autorregressivo O coeficiente é igual a 1, ou seja, uma série com reversão média infinitamente lenta. A equação de predição para este modelo pode ser escrita como: onde o termo constante é a mudança média do período para o período (ou seja, a derivação de longo prazo) em Y. Esse modelo poderia ser ajustado como um modelo de regressão sem intercepção em que o A primeira diferença de Y é a variável dependente. Uma vez que inclui (apenas) uma diferença não-sazonal e um termo constante, ela é classificada como um modelo quotARIMA (0,1,0) com constante. quot O modelo random-walk-without-drift seria um ARIMA (0,1, 0) modelo sem modelo ARADA constante (1,1,0) diferenciado do modelo autoregressivo de primeira ordem: se os erros de um modelo de caminhada aleatória forem autocorrelacionados, talvez o problema possa ser corrigido adicionando um atraso da variável dependente à equação de predição - - é Regressando a primeira diferença de Y em si mesma atrasada por um período. Isso produziria a seguinte equação de predição: que pode ser rearranjada para Este é um modelo autoregressivo de primeira ordem com uma ordem de diferenciação não-sazonal e um termo constante - ou seja. Um modelo ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) sem alisamento exponencial simples constante: Outra estratégia para corrigir erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória é sugerida pelo modelo de suavização exponencial simples. Lembre-se de que, para algumas séries temporais não estacionárias (por exemplo, que exibem flutuações ruidosas em torno de uma média variando lentamente), o modelo de caminhada aleatória não funciona, bem como uma média móvel de valores passados. Em outras palavras, ao invés de tomar a observação mais recente como a previsão da próxima observação, é melhor usar uma média das últimas observações para filtrar o ruído e, com mais precisão, estimar a média local. O modelo de suavização exponencial simples usa uma média móvel ponderada exponencialmente de valores passados ​​para alcançar esse efeito. A equação de predição para o modelo de suavização exponencial simples pode ser escrita em várias formas matematicamente equivalentes. Um dos quais é o chamado formulário 8220error correction8221, no qual a previsão anterior é ajustada na direção do erro que ele fez: porque e t-1 Y t-1 - 374 t-1 por definição, isso pode ser reescrito como : Que é uma equação de previsão ARIMA (0,1,1) sem constante constante com 952 1 1 - 945. Isso significa que você pode ajustar um alisamento exponencial simples especificando-o como um modelo ARIMA (0,1,1) sem Constante e o coeficiente estimado de MA (1) corresponde a 1-menos-alfa na fórmula SES. Lembre-se que, no modelo SES, a idade média dos dados nas previsões de 1 período anterior é de 1 945, o que significa que tenderão a atrasar as tendências ou os pontos de viragem em cerca de 1 945 períodos. Segue-se que a idade média dos dados nas previsões de 1 período de um ARIMA (0,1,1) - sem modelo constante é 1 (1 - 952 1). Assim, por exemplo, se 952 1 0.8, a idade média é 5. Como 952 1 aborda 1, o modelo ARIMA (0,1,1) sem modelo constante torna-se uma média móvel de muito longo prazo e, como 952 1 Aproxima-se de 0, torna-se um modelo de caminhada aleatória sem drift. O que é a melhor maneira de corrigir a autocorrelação: adicionar termos AR ou adicionar termos MA Nos dois modelos anteriores discutidos acima, o problema dos erros auto-correlacionados em um modelo de caminhada aleatória foi reparado de duas formas diferentes: adicionando um valor atrasado da série diferenciada Para a equação ou adicionando um valor atrasado do erro de previsão. Qual abordagem é melhor Uma regra de ouro para esta situação, que será discutida com mais detalhes mais adiante, é que a autocorrelação positiva geralmente é melhor tratada adicionando um termo AR ao modelo e a autocorrelação negativa geralmente é melhor tratada adicionando um Termo MA. Nas séries temporais de negócios e econômicas, a autocorrelação negativa surge frequentemente como um artefato de diferenciação. (Em geral, a diferenciação reduz a autocorrelação positiva e pode até causar uma mudança de autocorrelação positiva para negativa). Assim, o modelo ARIMA (0,1,1), no qual a diferenciação é acompanhada por um termo MA, é mais usado do que um Modelo ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) com alisamento exponencial constante e constante: ao implementar o modelo SES como modelo ARIMA, você realmente ganha alguma flexibilidade. Em primeiro lugar, o coeficiente estimado de MA (1) pode ser negativo. Isso corresponde a um fator de alisamento maior do que 1 em um modelo SES, que geralmente não é permitido pelo procedimento de montagem do modelo SES. Em segundo lugar, você tem a opção de incluir um termo constante no modelo ARIMA, se desejar, para estimar uma tendência média não-zero. O modelo ARIMA (0,1,1) com constante tem a equação de previsão: as previsões de um período anteriores deste modelo são qualitativamente similares às do modelo SES, exceto que a trajetória das previsões de longo prazo é tipicamente uma Linha inclinada (cuja inclinação é igual a mu) em vez de uma linha horizontal. ARIMA (0,2,1) ou (0,2,2) sem alisamento exponencial linear constante: modelos de alisamento exponencial linear são modelos ARIMA que utilizam duas diferenças não-sazonais em conjunto com os termos MA. A segunda diferença de uma série Y não é simplesmente a diferença entre Y e ela mesma atrasada por dois períodos, mas é a primeira diferença da primeira diferença - isto é. A mudança de mudança de Y no período t. Assim, a segunda diferença de Y no período t é igual a (Y t - Y t-1) - (Y t-1 - Y t-2) Y t - 2Y t-1 Y t-2. Uma segunda diferença de uma função discreta é análoga a uma segunda derivada de uma função contínua: mede a quotaccelerationquot ou quotcurvaturequot na função em um determinado ponto no tempo. O modelo ARIMA (0,2,2) sem constante prediz que a segunda diferença da série é igual a uma função linear dos dois últimos erros de previsão: o que pode ser rearranjado como: onde 952 1 e 952 2 são o MA (1) e MA (2) coeficientes. Este é um modelo de suavização exponencial linear geral. Essencialmente o mesmo que o modelo Holt8217s, e o modelo Brown8217s é um caso especial. Ele usa médias móveis exponencialmente ponderadas para estimar um nível local e uma tendência local na série. As previsões de longo prazo deste modelo convergem para uma linha reta cuja inclinação depende da tendência média observada no final da série. ARIMA (1,1,2) sem alisamento exponencial linear constante de tendência amortecida. Este modelo está ilustrado nos slides que acompanham os modelos ARIMA. Ele extrapola a tendência local no final da série, mas acha-se em horizontes de previsão mais longos para introduzir uma nota de conservadorismo, uma prática que tem suporte empírico. Veja o artigo em quotPor que a Tendência Damped funciona por Gardner e McKenzie e o artigo de QuotGolden Rulequot de Armstrong et al. para detalhes. Em geral, é aconselhável manter os modelos em que pelo menos um de p e q não é maior do que 1, ou seja, não tente se ajustar a um modelo como o ARIMA (2,1,2), pois isso provavelmente levará a uma superposição E quotcommon-factorquot questões que são discutidas em mais detalhes nas notas sobre a estrutura matemática dos modelos ARIMA. Implementação da planilha: os modelos ARIMA, como os descritos acima, são fáceis de implementar em uma planilha eletrônica. A equação de predição é simplesmente uma equação linear que se refere a valores passados ​​de séries temporais originais e valores passados ​​dos erros. Assim, você pode configurar uma planilha de previsão ARIMA armazenando os dados na coluna A, a fórmula de previsão na coluna B e os erros (dados menos previsões) na coluna C. A fórmula de previsão em uma célula típica na coluna B seria simplesmente Uma expressão linear que se refere a valores nas linhas precedentes das colunas A e C, multiplicadas pelos coeficientes apropriados de AR ou MA armazenados nas células em outro lugar na planilha. Lição 12: Filtragem Tópicos abordados: Relação com a propriedade da convolução da transformada de Fourier Ideal e não ideal Filtros seletivos de freqüência: características de domínio de frequência e domínio do tempo Filtros seletivos de freqüência de tempo contínuo descritos por equações diferenciais Filtros de passagem baixa e passagem alta de RC Filtros seletivos de freqüência de tempo discreto descritos por equações de diferença Filtros médios em movimento Recursiva discreta - Filtros de tempo Demonstração: uma olhada na filtragem em uma sala comercial de controle de áudio. Instrutor: Prof. Alan V. Oppenheim Palestra 1: Introdução Aula 2: Sinais e Sistemas. Aula 3: Sinais e sistemas. Palestra 4: Convolução Palestra 5: Propriedades de Li. Aula 6: Systems Represen. Aula 7: Tempo contínuo. Palestra 8: Tempo contínuo. Palestra 9: Fourier Transfor. Palestra 10: Tempo Discreto F. Palestra 11: Tempo Discreto F. Palestra 12: Filtração Palestra 13: Tempo Contínuo. Palestra 14: Demonstração o. Palestra 15: Tempo Discreto M. Palestra 16: Amostragem Palestra 17: Interpolação Palestra 18: Tempo Discreto P. Palestra 19: Tempo Discreto S. Palestra 20: The Laplace Tra. Palestra 21: Tempo contínuo. Palestra 22: The z-Transform Lecture 23: Mapping Continuous. Palestra 24: Butterworth Fil. Palestra 25: Feedback Palestra 26: Feedback Exampl. Recursos relacionados O seguinte conteúdo é fornecido sob uma licença Creative Commons. Seu apoio ajudará o MIT OpenCourseWare a continuar oferecendo gratuitamente recursos educacionais de alta qualidade. Para fazer uma doação ou ver materiais adicionais de centenas de cursos do MIT, visite o MIT OpenCourseWare em ocw. mit. edu. PROFESSOR: Ao discutir as transformações de Fourier de tempo contínuo e discreto, desenvolvemos uma série de propriedades importantes. Dois particularmente significativos, como mencionei na época, são a propriedade de modulação e a propriedade de convolução. Começando com a próxima palestra, a seguir a uma, bem estar desenvolvendo e explorando algumas das conseqüências da propriedade de modulação. Na palestra de hoje, gostaria de rever e expandir a noção de filtragem, que, como eu mencionei, flui mais ou menos diretamente da propriedade da convolução. Para começar, deixe-me apenas rever rapidamente o que é a propriedade da convolução. Tanto para tempo contínuo quanto para tempo discreto, a propriedade de convolução nos diz que a transformada de Fourier da convolução de duas funções de tempo é o produto das transformações de Fourier. Agora, o que isso significa em termos de filtros lineares invariantes do tempo, pois sabemos que, no domínio do tempo, a saída de um filtro linear invariante no tempo é a convolução da entrada e da resposta ao impulso, diz essencialmente no domínio da frequência Que a transformada de Fourier da saída é o produto da transformada de Fourier da resposta de impulso, a saber, a resposta de freqüência e a transformada de Fourier da entrada. Portanto, a saída é descrita através desse produto. Agora, lembre-se também que ao desenvolver a transformada de Fourier, interpretei a transformada de Fourier como a amplitude complexa de uma decomposição do sinal em termos de um conjunto de exponenciais complexos. E a resposta de freqüência ou a propriedade de convolução, de fato, nos diz como modificar as amplitudes de cada uma dessas exponenciais complexas à medida que passam pelo sistema. Agora, isso levou à noção de filtragem, onde o conceito básico era que, uma vez que podemos modificar as amplitudes de cada um dos componentes exponenciais complexos separadamente, podemos, por exemplo, reter alguns deles e eliminar totalmente outros. E esta é a noção básica de filtragem. Então, como você se lembra, temos, antes de tudo, a noção de tempo contínuo de um filtro ideal, por exemplo, ilustre aqui um filtro lowpass ideal onde passamos exatamente componentes de freqüência em uma banda e rejeitamos componentes totalmente de freqüência em outra banda. A banda foi passada, é claro, referida como a banda passiva, e a banda foi rejeitada como a banda de parada. Eu mostrei aqui um filtro de passagem baixa. Podemos, naturalmente, rejeitar as baixas frequências e reter as altas freqüências. E isso corresponde a um filtro highpass ideal. Ou podemos apenas reter as frequências dentro de uma banda. E então mostro abaixo o que é referido comumente como um filtro de passagem de banda. Agora, isso é o que os filtros ideais pareciam para o tempo contínuo. Por tempo discreto, temos exatamente a mesma situação. Ou seja, temos um filtro passa-discreto de tempo discreto ideal, que passa exatamente as freqüências que são as baixas freqüências. Baixa freqüência, é claro, sendo em torno de 0, e por causa da periodicidade, também em torno de 2pi. Mostramos também um filtro highpass ideal. E um filtro highpass, como eu indiquei na última vez, passa freqüências em torno de pi. E, por fim, abaixo, mostro um filtro de passagem de banda ideal que passa freqüências em algum lugar na faixa entre 0 e pi. E lembre-se também de que a diferença básica entre tempo contínuo e tempo discreto para esses filtros é que as versões de tempo discreto são, obviamente, periódicas em freqüência. Agora, vamos olhar esses filtros ideais e, em particular, o filtro lowpass ideal no domínio do tempo. Temos a resposta de freqüência do filtro passa-baixa ideal. E mostrado abaixo é a resposta de impulso. Então, aqui está a resposta de freqüência e abaixo da resposta de impulso do filtro passa-baixa ideal. E isso, é claro, é uma forma de resposta ao impulso do seno x sobre x. E reconhecer também ou lembrar que, uma vez que esta resposta de freqüência é de valor real, a resposta de impulso, em outras palavras, a transformada inversa é uma função uniforme do tempo. E observe também, uma vez que quero referir-me a isto, que a resposta ao impulso de um filtro passa-baixo ideal, de fato, não é causal. Isso segue, entre outras coisas, do fato de que é uma função par. Mas tenha em mente, de fato, que uma função sine x over x vai para o infinito em ambas as direções. Portanto, a resposta ao impulso do filtro passa-baixa ideal é simétrica e continua a ter caudas para infinito e menos infinito. Agora, a situação é basicamente a mesma no caso do tempo discreto. Olhe para a resposta de freqüência e resposta de impulso associada para um filtro de passagem baixa de tempo discreto ideal. Então, mais uma vez, aqui está a resposta de freqüência do filtro passa-baixa ideal. E abaixo do que mostro a resposta de impulso. Mais uma vez, é um tipo de resposta de impulso do tipo sine x over x. E novamente, reconhecemos que, dado que no domínio da freqüência, essa resposta de freqüência é de valor real. Isso significa, como conseqüência das propriedades da transformada de Fourier e da transformada de Fourier inversa, que a resposta ao impulso é uma função par no domínio do tempo. E também, aliás, a função sine x over x vai para o infinito, novamente, em ambas as direções. Agora, falamos sobre filtros ideais nesta discussão. E os filtros ideais são, de fato, ideais em certo sentido. O que eles fazem idealmente é que eles passam exatamente uma faixa de freqüências e rejeitam exatamente uma faixa de freqüências. Por outro lado, existem muitos problemas de filtragem em que, geralmente, não temos uma distinção clara entre as freqüências que queremos passar e as freqüências que queremos rejeitar. Um exemplo disso é elaborado no texto é o design de um sistema de suspensão automotiva, que, de fato, é o design de um filtro de passagem baixa. E, basicamente, o que você quer fazer em um caso como esse é filtrar ou atenuar variações de rotas muito rápidas e manter as variações menores, é claro, elevação da rodovia ou da estrada. E o que você pode ver intuitivamente é que não há realmente uma distinção muito nítida ou um corte nítido entre o que você chamaria lógicamente as baixas freqüências e o que você chamaria de altas freqüências. Agora, também um pouco relacionado com isso, é o fato de que, como se viu no domínio do tempo, esses filtros ideais possuem um caráter muito particular. Por exemplo, vamos olhar para o filtro passa-baixa ideal. E vimos a resposta do impulso. A resposta ao impulso é o que tínhamos mostrado aqui. Vamos agora olhar para a resposta gradual do filtro de passagem baixa ideal discreto. E note que tem uma cauda que oscila. E quando o passo atinge, na verdade, ele tem um comportamento oscilatório. Agora, exatamente a mesma situação ocorre em tempo contínuo. Olhe para a resposta gradual do filtro passa-baixa ideal de tempo contínuo. E o que vemos é que, quando um passo atinge, na verdade, nós conseguimos uma oscilação. E muitas vezes, essa oscilação é algo que é indesejável. Por exemplo, se você estivesse projetando um sistema de suspensão automotiva e você atingiu uma curva, que é uma entrada de passo, de fato, você provavelmente não gostaria que o automóvel oscilasse, morrendo em oscilação. Agora, há outro ponto muito importante, o que, novamente, podemos ver em tempo contínuo ou tempo discreto, o que é mesmo se quisermos que ele tenha um filtro ideal, o filtro ideal tem outro problema se quisermos tentar implementar Em tempo real. Qual é o problema O problema é que, uma vez que a resposta ao impulso é uniforme e, de fato, tem caudas que vão para o infinito mais e menos, não é causal. Então, se, de fato, queremos criar um filtro e o filtro é restrito para operar em tempo real, então, de fato, não podemos criar um filtro ideal. Então, o que isso diz é que, na prática, embora os filtros ideais sejam bons para pensar e talvez se relacionem com problemas práticos, mais tipicamente o que consideramos filtros não-ideais e no caso do tempo discreto, um filtro não-temporal, então teríamos uma característica Um pouco como Ive indicado aqui. Onde, ao invés de uma transição muito rápida da passband para stopband, haveria uma transição mais gradual com uma freqüência de corte de banda passante e uma freqüência de corte da banda de parada. E talvez também em vez de ter uma característica exatamente plana na faixa de parada na banda passante, nós permitiriamos uma certa quantidade de ondulação. Nós também temos exatamente a mesma situação em tempo contínuo, onde aqui também simplesmente mudamos nosso eixo de freqüência para um eixo de freqüência contínuo em vez do eixo discreto de freqüência. Mais uma vez, pensamos em termos de ondulação de banda passível permitida, uma transição da banda passada para stopband com uma frequência de corte de banda passante e uma frequência de corte da banda de interrupção. Portanto, a noção aqui é que, novamente, os filtros ideais são ideais em alguns aspectos, não são ideais em outros aspectos. E por muitos problemas práticos, talvez não os desejemos. E mesmo que as desejássemos, talvez não possamos obtê-los, talvez por causa dessa questão de causalidade. Mesmo que a causalidade não seja um problema, o que acontece no design e implementação de filtros, de fato, é que quanto mais você tentar fazer o corte, mais caro, em certo sentido, o filtro se torna, em termos de componentes, em contínuo - hora, ou em termos de computação em tempo discreto. E, portanto, há toda essa variedade de questões que realmente tornam importante entender a noção de filtros não-ideais. Agora, apenas para ilustrar como exemplo, deixe-me lembrá-lo de um exemplo do que, na verdade, é um filtro de passagem baixa nonideal. E nós examinamos anteriormente a equação diferencial associada. Deixe-me agora, de fato, relacioná-lo com um circuito e, em particular, com um circuito RC, onde a saída pode ser através do capacitor ou a saída pode ser através do resistor. Então, de fato, temos dois sistemas aqui. Temos um sistema, que é a função do sistema a partir da entrada da fonte de tensão para a saída do capacitor, o sistema da entrada da fonte de tensão para a saída do resistor. E, de fato, apenas aplicando a Lei de Tensão de Kirchhoff para isso, podemos relacioná-los de maneira muito direta. É muito direto verificar se o sistema da entrada para a saída do resistor é simplesmente o sistema de identidade com o resultado do capacitor subtraído dele. Agora, podemos escrever a equação diferencial para qualquer um desses sistemas e, como falamos sobre a última vez nas últimas palestras, resolva essa equação usando e explorando as propriedades da transformada de Fourier. E, de fato, se olharmos para a equação diferencial relativa à saída do capacitor para a entrada da fonte de tensão, reconhecemos que este é um exemplo que, de fato, foi resolvido anteriormente. E, assim, apenas trabalhando nosso caminho para baixo, aplicando a transformada de Fourier na equação diferencial e gerando a função do sistema tomando a razão da tensão do capacitor ou sua transformada de Fourier para a transformada de Fourier da fonte, então temos a função do sistema associada à Sistema para o qual a saída é a tensão do capacitor. Ou se resolvemos em vez disso para a função do sistema associada à saída do resistor, podemos simplesmente subtrair H1 da unidade. E a função do sistema que recebemos naquele caso é a função do sistema que eu mostro aqui. Então, temos, agora, duas funções do sistema, uma para a saída do capacitor, e a outra para a saída do resistor. E um, o primeiro, correspondente à saída do capacitor, de fato, se o traçamos em uma escala de amplitude linear, parece assim. E como você pode ver, e como vimos na última vez, é uma aproximação a um filtro de passagem baixa. É, de fato, e filtro de passagem baixa não usual, enquanto que a saída do resistor é uma aproximação de um filtro de passagem alta, ou, de fato, um filtro highpass não-ideal. Então, em um caso, apenas comparando os dois, temos um filtro de passagem baixa como a saída do capacitor associada à saída do capacitor e um filtro de passagem alto associado à saída do resistor. Vejamos agora esse exemplo agora, olhando para um gráfico Bode, em vez da escala linear que mostramos antes. E lembre-se incidentalmente, e fique atento, aliás, do fato de que podemos, claro, distribuir vários filtros desse tipo e melhorar as características. Então, mostrei no topo um gráfico Bode da função do sistema associado à saída do capacitor. É plano para uma frequência correspondente a 1 em relação à constante de tempo, RC. E então cai em 10 dB por década, uma década sendo um fator de 10. Ou se, em vez disso, olhamos para a função do sistema associada à saída do resistor, que corresponde a um aumento de freqüência de 10 dB por década até aproximadamente o recíproco Da constante de tempo, e depois se aproximando de uma característica plana depois disso. E se considerarmos qualquer um destes, olhando para trás novamente no filtro de passagem baixa, se houvesse cascata vários filtros com essa resposta de freqüência, então porque temos coisas plotadas em um gráfico Bode, o gráfico Bode para a cascata seria simplesmente somando estes. E, portanto, se tivéssemos em cascata, por exemplo, dois estágios em vez de um roll-off em 10 dB por década, ele resultaria em 20 dB por década. Agora, filtros neste tipo, os filtros RC, talvez vários deles em cascata, são de fato muito prevalentes. E de fato, em um ambiente como esse, onde, de fato, estavam fazendo gravação, vemos que há filtros desse tipo que aparecem muito comum tanto na parte de áudio quanto na parte de vídeo do processamento de sinal que está associada a fazer este conjunto De fitas. Na verdade, vamos dar uma olhada na sala de controle. E o que posso mostrar em sala de controle é a parte de áudio do processamento que é feito e os tipos de filtros, muito do tipo do qual acabamos de falar, que estão associados ao processamento de sinal feito na preparação do áudio Para as fitas. Então, vamos caminhar até a sala de controle e ver o que vemos. Esta é a sala de controle utilizada para a mudança de câmera. É usado para edição de computador e também controle de áudio. Você pode ver os monitores, e estes são usados ​​para a troca da câmera. E este é o console de edição do computador que é usado para edição de computador on-line e off-line. O que eu realmente quero demonstrar, porém, no contexto da palestra é o painel de controle de áudio, que contém, entre outras coisas, uma variedade de filtros para alta freqüência, baixas freqüências, e outros, basicamente filtros de equalização. E o que temos no caminho da filtragem é, em primeiro lugar, o que é referido como um equalizador gráfico, que consiste em um conjunto de filtros passa-banda, que descrevo um pouco com mais cuidado em um minuto. E, em seguida, também, um painel de controle de áudio, que está aqui embaixo e que contém circuitos de equalizador separados para cada um de um conjunto completo de canais e também muitos controles sobre eles. Bem, deixe-me começar na demonstração ao demonstrar um pouco o que o equalizador gráfico faz. Bem, o que temos é um conjunto de filtros de passagem de banda. E o que está indicado aqui são as frequências centrais dos filtros e, em seguida, um interruptor deslizante para cada um que nos permite atenuar ou amplificar. E esta é uma escala de dB. Então, essencialmente, se você olhar através deste banco de filtros com a saída total do equalizador apenas sendo a soma das saídas de cada um desses filtros, curiosamente a posição do controle deslizante muda enquanto você se move aqui, de fato, mostra o que A resposta de freqüência do equalizador é. Então, você pode alterar a modelagem geral do filtro movendo as chaves para cima e para baixo. No momento, o equalizador está fora. Coloque o equalizador no circuito. E agora coloco essa característica de filtragem. E o que eu gostaria de demonstrar é filtrar com isso, quando fazemos coisas que são um pouco mais dramáticas do que o que normalmente seria feito em uma configuração típica de gravação de áudio. E para fazer isso, adicione à minha voz algumas músicas para torná-la mais interessante. Não é que minha voz não é interessante como ela é. Mas, em qualquer caso, vamos trazer algumas músicas. E agora, o que eu faço é definir as baixas frequências planas. E deixe-me tirar as altas freqüências acima de 800 ciclos. E agora, o que temos, efetivamente, é um filtro de passagem baixa. E agora com o filtro lowpass, deixe-me agora trazer os altos de volta. E então estou trazendo esses filtros de passagem de banda. E agora deixe-me cortar os mínimos. E você vai ouvir os baixos desaparecer e, de fato, manter os máximos eficazes, o som, a voz ou a música. E, finalmente, deixe-me voltar a 0 dB de equalização em cada um dos filtros. E o que eu também faço agora é tirar o equalizador do circuito totalmente. Agora, dê uma olhada no painel de controle do mestre de áudio. E este painel tem, naturalmente, para cada canal e, por exemplo, o canal que estava trabalhando, de um controle de volume. Posso reduzir o volume, e posso aumentar o volume. E também tem, para este circuito de equalizador particular, um conjunto de três filtros de passa-banda e botões que nos permitem colocar até um ganho de até 12 dB ou atenuação de 12 dB em cada uma das bandas e também um interruptor de seleção que nos permite Selecione o centro da banda. Então, deixe-me novamente demonstrar um pouco com isso. E vamos aproximar este painel. Então, o que temos, como eu indiquei, são três filtros de passagem de banda. E esses botões que eu estou apontando aqui são controles que nos permitem para cada um dos filtros colocar até um ganho de até 12 dB ou uma atenuação de 12 dB. Há também com cada um dos filtros um seletor que nos permite ajustar a freqüência central do filtro. Basicamente é um interruptor de duas posições. Além disso, como você pode ver, é um botão que nos permite colocar ou igualar a equalização. Atualmente, a equalização está fora. Permite colocar a equalização. Nós não ouviremos nenhum efeito disso, porque os controles de ganho estão todos ajustados em 0 dB. E eu vou querer ilustrar em breve o efeito destes. Mas antes que eu faça, deixe-me chamar a atenção para um outro filtro, que é esse interruptor branco. E este interruptor é um filtro highpass que essencialmente corta freqüências abaixo de cerca de 100 ciclos. Então, o que isso significa é que, se eu coloquei essa opção, tudo é mais ou menos plano acima de 100 ciclos. E o que isso é usado, basicamente, é eliminar o ruído de 60 ciclos, se isso estiver presente, ou algum zumbido de baixa freqüência ou qualquer coisa. Bem, nós realmente não demonstramos nada com isso. Vamos agora com a equalização, demonstram o efeito de aumentar ou atenuar as freqüências baixas e altas. E, novamente, penso em demonstrar isso, ilustra o ponto melhor se tivermos uma pequena música de fundo. Então, maestro, se você pode trazer isso. E agora, o que eu vou fazer é primeiro impulsionar as baixas frequências. E isso é o que esse botão do potenciômetro fará. Então, agora, aumentando o ganho de baixa freqüência e, na verdade, todo o caminho até 12 dB quando eu tenho o botão até onde eu fui aqui. E assim tem um som muito bassy. E, na verdade, podemos torná-lo ainda mais baixo, levando as altas freqüências e atenuando as de 12 dB. OK bem, vamos colocar algumas das altas freqüências de volta. E agora, gire o ganho de baixa freqüência primeiro para baixo para 0. E agora estavam de volta à equalização plana. E agora eu posso diminuir o ganho de baixa freqüência para que atenuem as baixas frequências em até 12 dB. E é aí que estamos agora. E, portanto, isso tem, é claro, um som muito mais nítido. E para aumentar ainda mais as alturas, eu posso, além de cortar os mínimos, aumentar as altas colocando, novamente, até 12 dB. OK bem, baixe a música agora e volte para sem equalização configurando esses botões para 0 dB. E na verdade, podemos tirar o equalizador. Bem, isso é um rápido olhar para alguns filtros do mundo real. Agora vamos parar de nos divertir muito, e vamos voltar para a palestra. Tudo bem, isso é um pouco atrás das cenas. O que gostaria de fazer agora é voltar a atenção para os filtros de tempo discreto. E como eu quis dizer em palestras anteriores, existem basicamente duas classes de filtros de tempo discreto ou equações de diferença de tempo discreto. Uma classe é encaminhada para um filtro médio não recursivo ou móvel. E a idéia básica com um filtro de média móvel é algo que talvez você esteja familiarizado com intuitivamente. Pense na noção de tomar uma seqüência de dados, e vamos supor que o que queríamos fazer era aplicar algum alisamento na seqüência de dados. Poderíamos, por exemplo, pensar em tomar pontos adjacentes, em média juntos e, em seguida, mover essa média ao longo da seqüência de dados. E o que você pode ver de forma intuitiva é que isso seria um pouco de suavização. Então, de fato, a equação de diferença, digamos, para a média móvel de três pontos seria a equação de diferença que eu indicar aqui, simplesmente tomando um ponto de dados e os dois pontos de dados adjacentes a ele e formando uma média desses três. Então, se pensarmos no processamento envolvido, se formassem um valor de seqüência de saída, tomaríamos três pontos adjacentes e os calcularíamos. Isso nos daria a saída adicionar o tempo associado. E, em seguida, para calcular o próximo ponto de saída, simplesmente deslizaríamos isso em um ponto, em média, juntos, e isso nos daria o próximo ponto de saída. E nós continuaríamos, simplesmente deslizando e fazendo a média para formar a sequência de dados de saída. Agora, esse é um exemplo do que normalmente é referido em uma média móvel de três pontos. Na verdade, podemos generalizar essa noção de várias maneiras. Uma maneira de generalizar a noção de uma média móvel da média móvel de três pontos, que eu resumi novamente aqui, é pensar em estender isso para um número maior de pontos e, na verdade, aplicar pesos a isso como eu indiquei aqui, então Isso, além de apenas resumir os pontos e dividir pelo número de pontos somados, podemos, de fato, aplicar pesos individuais aos pontos para que seja o que é muitas vezes referido como uma média móvel de ponderação. E mostro abaixo uma possível curva que pode resultar, onde estes seriam essencialmente os pesos associados a essa média móvel ponderada. E de fato, é fácil verificar que isso realmente corresponde à resposta de impulso do filtro. Bem, apenas para cimentar essa noção, deixe-me mostrar um exemplo ou dois. Aqui está um exemplo de uma média móvel de cinco pontos. Uma média móvel de cinco pontos teria uma resposta de impulso que consiste apenas em um retângulo de comprimento cinco. E se isso for convolvido com uma seqüência de dados, isso corresponderia a tomar cinco pontos adjacentes e, de fato, a média deles. Nós observamos anteriormente a transformada de Fourier dessa seqüência retangular. E a transformada de Fourier daquilo, de fato, é na forma de um sine n x sobre a curva seno x. E, como você pode ver, essa é uma aproximação a um filtro de passagem baixa. E assim, novamente, é a resposta de impulso e resposta de freqüência de um filtro passa-baixa não-ideal. Agora, há uma variedade de algoritmos que, de fato, indicam como escolher os pesos associados a uma média móvel ponderada para, em algum sentido, conceber melhores aproximações e sem entrar nos detalhes de nenhum desses algoritmos. Deixe-me apenas mostrar o resultado de escolher os pesos para o projeto de um filtro de média móvel de 251 pontos, onde os pesos são escolhidos usando um algoritmo ideal para gerar um corte tão nítido quanto possível. E então, o que mostro aqui é a resposta de freqüência do filtro resultante em uma escala de amplitude logarítmica e uma escala de freqüência linear. Observe que nesta escala, a banda passadeira é muito plana. Embora aqui seja uma visão expandida disso. E, na verdade, tem o que é referido como uma característica de ondulação igual. E então, aqui está a banda de transição. E aqui temos que parar a banda, o que, de fato, está abaixo de mais de 80 dB e, novamente, tem o que é chamado de uma característica de ondulação igual. Agora, a noção de uma média móvel para filtragem é algo que é muito usado. Eu mostrei a última vez o resultado de uma filtragem em uma sequência de dados específica, o Dow Jones Industrial Average. E muitas vezes, ao analisar vários tipos de publicações do mercado de ações, o que você verá é a média Dow Jones mostrada em sua forma bruta como uma seqüência de dados. E então muito tipicamente, você também verá o resultado de uma média móvel, onde a média móvel pode estar na ordem do dia, ou pode ser por ordem de meses. Toda a noção é levar algumas das flutuações aleatórias de alta freqüência fora da média e mostrar a baixa freqüência, ou tendências, durante algum período de tempo. Então, de fato, volte para a média Dow Jones. E deixe-me mostrar-lhe agora qual seria o resultado da filtragem com um filtro de média móvel, na mesma sequência média industrial Dow Jones que mostrei na última vez. Então, mais uma vez, temos a média Dow Jones de 1927 a aproximadamente 1932. No topo, vemos a resposta de impulso para a média móvel. Mais uma vez, lembro-lhe uma escala de tempo expandida, e o que se mostra aqui é a média móvel com apenas um ponto. Portanto, a saída no rastreamento inferior é simplesmente idêntica à entrada. Agora, vamos aumentar o comprimento da média móvel para dois pontos. E vemos que há uma pequena quantidade de suavização, três pontos e apenas um pouco mais suavizado, que é inserido. Agora, uma média móvel de quatro pontos, e próxima a média móvel de cinco pontos, e uma média móvel de seis pontos em seguida. E vemos que o alisamento aumenta. Agora, vamos aumentar o comprimento do filtro de média móvel muito mais rapidamente e observar como a saída é cada vez mais suave em relação à entrada. Novamente, enfatizo que a escala de tempo para a resposta ao impulso é significativamente expandida em relação à escala de tempo tanto para a entrada como para a saída. E, mais uma vez, através da magia da filtragem, conseguimos eliminar o crash da Stock Market de 1929. Tudo bem, então vimos filtros de média móvel ou o que às vezes são chamados de filtros não recursivos. E são, como enfatizei, uma classe muito importante de filtros de tempo discreto. Outra classe muito importante de filtros de tempo discreto são o que são referidos como filtros recursivos. Os filtros recursivos são filtros para os quais a equação de diferença tem feedback da saída de volta para a entrada. Em outras palavras, a saída depende não apenas da entrada, mas também dos valores anteriores da saída. Assim, por exemplo, como eu já fiz ressaltado anteriormente, uma equação de diferença recursiva tem a forma geral que eu indicar aqui, uma combinação linear de saídas ponderadas no lado esquerdo e combinação linear de entradas ponderadas no lado direito. E como falamos, podemos resolver esta equação para a saída atual y de n em termos de entradas passadas e passadas e saídas passadas. Por exemplo, apenas para interpretar isso, concentre-se na interpretação deste como um filtro, olhamos para uma equação de diferença de primeira ordem, da qual falamos e geramos a solução anteriormente. Então, a equação da diferença de primeira ordem seria como eu indiquei aqui. E impondo uma causalidade sobre isso, de modo que assumimos que estamos executando isso como um recursivo no tempo, podemos resolver isso para y de n em termos de x de n e y de n menos 1 ponderada pelo fator a. E eu simplesmente indicar o diagrama de blocos para isso. Mas o que queremos examinar agora para esta recursão de primeira ordem é a resposta de freqüência e ver sua interpretação como um filtro. Bem, de fato, mais uma vez, a matemática para isso aconteceu na última palestra. E assim, interpretando a equação de diferença de primeira ordem como um sistema, o que estava tentando gerar é a resposta de freqüência, que é a transformada de Fourier da resposta de impulso. E a partir da equação de diferença, podemos, obviamente, resolver para qualquer um desses, usando as propriedades, explorando as propriedades, da transformada de Fourier. Aplicando a transformada de Fourier à equação de diferença, acabaremos com a transformada de Fourier da saída igual à transformada de Fourier dos tempos de entrada, esse fator, que sabemos da propriedade de convolução, de fato, é a resposta de freqüência do sistema . Então, esta é a resposta de freqüência. E, claro, a transformada inversa de Fourier, que eu indique abaixo, é a resposta de impulso do sistema. Portanto, temos a resposta de freqüência obtida aplicando a transformada de Fourier na equação de diferença, a resposta de impulso. E, como fizemos na última vez, podemos ver isso em termos de uma característica de resposta de freqüência. E lembre-se que, dependendo se o fator a é positivo ou negativo, obtemos um filtro de passagem baixa ou um filtro de passagem alta. E se, de fato, olharmos para a resposta de freqüência para que o fator a seja positivo, então vemos que esta é uma aproximação para um filtro de passagem baixa, enquanto abaixo mostra que a resposta de freqüência é negativa. E isso corresponde a um filtro highpass, pois atenuam as baixas freqüências e mantêm as altas freqüências. E lembremos também que ilustramos esta característica como um filtro de passagem baixa ou alta para a recursão de primeira ordem, observando como funcionou como filtro nos dois casos em que a entrada era a média de Dow Jones. E, de fato, vimos que gerou filtragem de baixo e alto nível nos casos apropriados. Então, por tempo discreto, temos as duas classes, a média móvel e os filtros recursivos. E há uma variedade de questões discutidas no texto sobre o porquê, em certos contextos, pode querer usar um do outro. Basically, what happens is that for the moving average filter, for a given set a filter specifications, there are many more multiplications required than for a recursive filter. But there are, in certain contexts, some very important compensating benefits for the moving average filter. Now, this concludes, pretty much, what I want to say in detail about filtering, the concept of filtering, in the set of lectures. This is only a very quick glimpse into a very important and very rich topic, and one, of course, that can be studied on its own in an considerable amount of detail. As the lectures go on, what well find is that the basic concept of filtering, both ideal and nonideal filtering, will be a very important part of what we do. And in particular, beginning with the next lecture, well turn to a discussion of modulation, exploiting the property of modulation as it relates to some practical problems. And what well find when we do that is that a very important part of that discussion and, in fact, a very important part of the use of modulation also just naturally incorporates the concept and properties of filtering. Obrigado. Free Downloads